应用概率统计

课程简介

应用概率统计是研究生阶段的重要数学基础课程，主要学习概率论与数理统计的基本理论及其在实际问题中的应用。

学习内容

概率论基础

• 随机事件与概率
• 随机变量及其分布
• 多维随机变量
• 数字特征

数理统计

• 抽样分布
• 参数估计
• 假设检验
• 回归分析

学习笔记

第一章：概率论基础

1.1 随机事件

定义：在相同条件下进行的试验中，可能出现也可能不出现的结果称为随机事件。

基本概念：

• 样本空间：所有可能结果的集合
• 事件：样本空间的子集
• 必然事件：在每次试验中一定发生的事件
• 不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件

1.2 概率的定义

古典概率：如果试验的基本事件总数有限，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件A的概率为：

$$P(A)=\frac{A\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{事}\mathrm{件}\mathrm{数}}{\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{事}\mathrm{件}\mathrm{总}\mathrm{数}}$$

几何概率：如果试验的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件A的概率为：

$$P(A)=\frac{A\mathrm{的}\mathrm{测}\mathrm{度}}{\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{测}\mathrm{度}}$$

1.3 条件概率

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率：

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0$$

贝叶斯定理：

$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$$

1.4 随机变量的数字特征

期望值（均值）：

$$E[X]=\{\begin{array}{ll}\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)& \text{离散型}\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xf(x)dx& \text{连续型}\end{array}$$

方差：

$$Var(X)=E[(X-E[X]{)}^2]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$

标准差：

$$\sigma =\sqrt{Var(X)}$$

1.5 常见分布

正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

泊松分布 $P(\lambda )$：

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

指数分布 $Exp(\lambda )$：

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$

作业与练习

• [ ] 完成第一章习题
• [ ] 整理概率公式表
• [ ] 复习随机变量概念

参考资料

• 教材：《概率论与数理统计》
• 参考书：《应用概率统计》
• 在线资源：Khan Academy 概率统计

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最后更新：2024年9月9日